Программа, тестирующая метод трехточечной прогонки для «Решения краевой задачи дифференциального уравнения 2-го порядка» с помощью разностной схемы

Постановка задачи:

Дифференциальная задача:

Дифференциальная задача
p,q – задаются с клавиатуры коэффициенты
f(x) – заданная функция

Выбрать схему сеточной аппроксимации и решить систему сеточных уравнений методом трехточечной прогонки.

Решение:

Основой численных методов решения краевых задач - является замена исходной системы уравнений ее сеточной аппроксимацией. В случае интегро-дифференциальных уравнений такая аппроксимация обычно строится с помощью разностных схем.

Не вдаваясь особо в теорию,
формулы для первой и второй производных в разностных схемах выглядят так:

Первая производная разностной схемы
- характеризует скорость изменения функции

Вторая производная разностной схемы
- характеризует кривизну графика функции

Разностных схем можно построить множество (дело вкуса) и все они будут давать приближенный результат решения дифференциального уравнения. А степень приближения, т.е. качество решения - зависит как раз от выбранной схемы и характера функции. Кому-то поможет опыт, кому-то везение…

Вот, я останавливаюсь на следующей схеме сеточной аппроксимации для заданного уравнения

Разностная схема для решения дифференциального уравнения

где i=1,2,…,K-1 (т.к. в узлах i=0 и i=K результат функции известен – краевые условия заданы!)
K- будет задаваться на форме (количество узлов сетки, будет определять шаг интегрирования)

        шаг интегрирования

Тестирование метода трехточечной прогонки я решил продемонстрировать на примере 3 функций (разумеется, сначала брал решение, потом его дифференцировал и получал F(x))

F(x) = - p*(6*x^2)+q*(x^4)/2+C);     //решением будет y(x)= (x^4)/2 +C
F(x)= - p*(-1/x^2)+q*(ln(x)+C);     //решением будет y(x)= ln(x)+C
F(x):= - p*(-Cos(x))+q*(Cos(x)+C);     //решением будет y(x)= Cos(x)+C

Поскольку я знаю формулы решения, то могу строить теоретически правильные графики для сравнения.

Расcчитав коэффициенты
             a:= (q/12-p/h/h);
             b:= (10*q/12+2*p/h/h);
             c:=a; // (q/12-p/h/h);

для каждых последовательных трех узлов сетки можно записать

            a*Yi+1 + b*Yi +c*Yi-1= F(xi+1,xi,xi-1)

Отличаться будут только первое и последние уравнения (т.к. там краевые условия заданы)
Первое :             b*Yi +c*Yi-1= F(xi+1,xi,xi-1) - a*Y0
Последнее:        a*Yi+1 + b*Yi = F(xi+1,xi,xi-1) - c*Yk

        разряженная матрица разностной схемы

Получилась такая разряженная матрица (в пустых клетках, конечно, нули).

Сначала в массив y[i] помещаем значения F(xi+1,xi,xi-1) как вектор свободных членов…

Далее, методом трехточечной прогонки (преобразованиями Гаусса) приводим эту матрицу к единичной, и в результате в векторе-столбце F(x) , а значит и в массиве y[i] получаем искомые у(х[i]) для каждого узла сетки.

Полученный массив остается вывести на график и в текстовое окно результата.

Ну, и сравнить с эталонной функцией…

Программа для тестирования метода трехточечной прогонки

Вот как классно совпадает график рассчитанный с теоретическим (точным)…

Приобретайте код и тестируйте на своих функциях…
Или я могу ваши функции поместить в код…

Ехе-файл скачать бесплатно.


Условия получения кода?    Показать?


Другие примеры на тему «РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ»

Другие примеры на языке «Delphi»




Если на этой странице не нашлось того, что Вы так искали...

         Не расстраивайтесь, не все потеряно... Смело щелкайте...

исходный код на заказ. orenstudent.ru Автоматизация документов MS Office. orenstudent.ru исходный код на заказ. orenstudent.ru Помогите найти и устранить ошибку в исходном коде программы. orenstudent.ru Skype-консультирование по программированию
Скайп-консультации

Акция !!!
Весь код по 49 руб


требуются
школьники!


и СТУДЕНТЫ!
Кому не плевать
на деньги!
Сайт помощи студентам по программированию и информатике

Program code